"Wat een fucksommetje", sprak hij dus.

Bezien wij de vergelijking

yln(xy) + (xln(xy) + y)dy/dx = 0

dan zal ons de treffende overeenkomst met

P(x,y) + Q(x,y)dy/dx = 0

ongetwijfeld niet ontgaan. Wij spreken hier van een exacte differentiaalvergelijking, mits

dP/dy = dQ/dx

Dat dit het geval is gelooft U ongetwijfeld wel, en zoniet dan differentieert U even een keer of twee, en komt U vanzelf uit op ln(xy) + 1.

De impliciete oplossing van de vergelijking is de functie g(x,y), waarvoor geldt:

dg(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy

of ook wel: dg(x,y)/dx = P en dg(x,y)/dy = Q

Immers, een eenvoudige substitutie leert dat de beginvergelijking in dat geval overgaat in dg(x,y) = 0 ofwel g(x,y) = C, waarbij C de bekende willekeurige reële constante is, zolang die niet door randvoorwaarden wordt vastgelegd.

Met andere woorden

g(x,y) = ∫P(x,y)dx = ∫yln(xy)dx = (xy)(ln(xy) - 1) + f(y)

Differentiëren wij deze gevonden functie g(x,y) nu naar y, dan vinden wij:

dg(x,y)/dy = xln(xy) + f'(y) = Q(x,y)

en dus is f(y)= ½y²

waarmee

g(x,y) = (xy)(ln(xy) - 1) + ½y² = C

de impliciete oplossing van de differentiaalvergelijking is.

Expliciet drukken wij deze nu even niet uit. Dát gaat net een of twee tikkeltjes te ver.